수학 공부

수학을 잘 하려면?

(** 영화 '이상한 나라의 수학자' 중에서)

 

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학성 : 수학 잘하려면 뭐가 제일 필요한지 아네?
지우 : 머리겠죠, 뭐 ..
학성 : 머리 좋은 녀석들이 제일 먼저 포기하지.
지우 : 설마 '노력' 이런 거 아니죠? 
학성 : (피식) 그 다음으로 나자빠지는 게.. 노력만 하는 놈들이야.
지우 : 에? 그럼 뭔데요?
학성 : 용기
지우 : (실망해서 빈정대듯) 아자! 할 수 있다! 뭐 이런 거요?
학성 :그건 객기고..
          풀리지 않는 문제가 있을 때 화를 내거나 포기하는 대신,
          '음.. 어렵구나. 내일 다시 한번 풀어봐야갓구나' 하는 마음.
          그게 수학적 용기다.
그렇게 담담하면서도 꿋꿋한 녀석들이 결국 수학을 해내는 거지.
지우 : 나랑은 머~언 얘기네요.
학성 : 니 얘기다.

 

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영화에서 이학성이 말하는 '수학적 용기'란 결국,
쉽게 포기하지 않는 '끈기'와 문제 풀이를 '즐기는 태도'의 조합으로 설명되겠다.
즉 요체는 '끈기'와 '즐김'으로 요약된다.

좀 낯뜨거운 말이긴 하지만, 나도 수학 과목 하나는 어떤 과목보다 우수했다.
당시는 본고사가 있던 시절이다.
영어나 국어 실력은 상대적으로 많이 부실했다.
그래서 사실상 수학 성적 하나만으로 대학을 들어갔다고 해도 과언이 아니다.

나의 개인적인 수학 비결을 말하자면, 그것은 '원리를 탐구하는 자세'라고 생각한다.
수학은 '원리'만 제대로 파악하고 나면 전혀 어렵지 않고 재미가 있다,
원리를 파악하는 과정이 다소 불편하고 시간이 많이 걸릴 뿐이다.
명확히 파악된 원리를 갖다 대기만 하면 대부분의 문제는 그저 술술 풀리기 마련이니 재미가 없을 수 없다.
영어나 국어와 같은 다른 과목들은 아무리 시간을 투입해도 금세 표가 나지 않지만, 그에 비해 수학은 투자 대비 수익율이 매우 높은 셈이다.

그래서 내 나름의 관점에서 볼 때,
수학을 잘 하려면,
해당 문제의 원리를 알아야겠다는 성취 '의지'가 필요하고,
원리를 알아냈을 때의 성취에서 오는 '희열'을 알고 있어야 하고,
그 희열을 얻기 위해 노력하는 과정의 '즐김'을 좋아해야 한다.

그런 즐김의 자세가 결국 끈기의 에너지가 되는 것이다.  
결국 이학성이 말하는 '끈기-즐김'의 공식에 부합된다.

 

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이 '즐김-끈기'의 공식은 수학뿐만 아니라, 사실상 사업 등 인생의 거의 모든 분야에 적용된다.
인생을 나름 성공적으로 살아가는 사람들 면면을 보면, 거의 대부분이 '즐김-끈기'의 공식에서 벗어나지 않는 삶을 살고 있음을 확인할 수 있다. 

이 점에서 수학 교육의 진정한 의미를 찾을 수 있을 것 같다.
한 때 수학을 즐겼고 남못지 않은 성적을 뽐내던 나도 이제 수학 문제를 보면 머리가 띵하다.
세상에 나와 수학을 실제로 써먹은 적은 거의 기억에 남아 있지 않다. 덧셈뺄셈 정도라면 몰라도.

그런 별 쓸모없는 학문을 왜 그토록 어린 아이들에게 강요하며 고통을 주었을까? 라고 말하는 사람들이 있다.
나도 그 말을 전적으로 부정하지는 않는다. 

하지만, 살다 보니 우리 삶의 많은 중요한 부분에서 수학이 작동하고 있음을 느낀다. 
비즈니스 등의 상황에서 어려운 문제나 힘든 과업을 해결해야 할 때, 수학적 문제 대응 방식은 대체로 옳다.
수학 문제를 풀 때처럼, 먼저 당면한 상황을 상위 개념이나 더 큰 카테고리에서 파악하고자 시도한다.
상황을 원리적으로 접근하는 셈이다. 
당장 무엇(What)을 어떻게(How) 해야할지를 생각하지 않고, 먼저 '왜(Why)'를 묻는다.
이 상황은 왜 존재하고 있고, 나는 어떤 이유 때문이 혹은 어떤 목적을 두고 이 문제에 대응해야 하는가.
그 'Why'가 명백히 파악되면, How와 What는 비교적 쉽게 찾을 수 있다.

그리고, 그러한 삶 속에서의 문제 풀이 과정은 끈기를 요한다. 지치는 쪽은 필패하게 된다.
그 끈기를 지탱시켜주는 에너지는 말할 것도 없이 '즐기는 자세'에서 나온다.
즐김의 태도는 그저 나오지 않는다.
문제 해결 후의 보상과 희열에 대해 이미 충분히 경험하고 알고 있을 때 그 태도는 더욱 충실하다.
어려운 수학 문제를 많이 풀어본 사람은 그 보상과 희열을 이미 몸으로 잘 체득하고 있는 셈이다.

수학은 '끈기-즐김'의 교육이다.

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수학은 원래 문제에서 출발한다. 문제를 상정해두고 그 문제의 해결책을 탐구하는 과정에서 수학적 원리를 찾아내는 것이 수학이라는 학문이다. 학생들의 수학 공부 역시 마찬가지다. 항상 문제가 주어지고 그 문제를 풀어야만 한다.
많은 경우 문제를 만나면 암담하다. 무엇부터 어떻게 해야할 지를 모른다. 그러나 기억 속에 혼재된 온갖 공식, 이론, 경험의 꼬투리를 끌어내어 이리 맞추어보고 저리 비틀어 결국 문제를 풀어낸다. 그 희열이 만만치 않다.

우리의 삶이나 사업도 마찬가지이다. 항상 문제에 부딪힌다. 벽과 같이 도저히 가망이 없어보이는 문제도 많다. 이건 안돼, 도저히 어찌할 방법이 없어.. 라는 생각이 들었어도.. 우린 끝내 그 벽을 부수고 새로운 길을 열어왔다. 나는 그것을 수학적 사고 혹은 수학이 가르쳐준 힘이라 여긴다.

우리가 만나게 될 미래는 더욱 많은 문제를 안겨줄 것이다. 그 문제들은 더욱 많은 좌절을 느끼게 할 것이고, 우리는 수학적 사고를 풀 가동하여 그 벽을 무너뜨리려 애를 쓸 것이다. 그렇게 새 길을 찾고 그렇게 더 성장하며 새로운 시대에 적응할 것이다.

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귀류법

수학을 공부하면 당연히 논리적 사고에 익숙하게 된다. 그 중에 하나가 귀류법이다.
수학에는 다양한 증명법이 있다. 그 중에서도 귀류법은 독특하다. 어떤 명제를 증명하여야 하는데, 그 증명이 어렵다. ㄱ드럴 때 그 명제의 반대 상황을 먼저 가정하고, 그 가정이 성립될 수 없거나 잘못되었음(귀류)을 증명한다. 그러면 당초의 명제가 옳다는 것이 간접적으로 증명되는 것이다.

예를 들어 '자연수는 무한하다'라는 것을 귀류법으로 증명해 보고자 한다. 자연수는 셀 수 있는 수를 가리킨다. 그걸 하나씩 세어서는 무한함을 증명할 수 없다. 그러면 일단 자연수를 유한하다고 가정한다. 만약 유한하다는 가정이 부정된다면, 자연수는 무한한 것이 된다.
유한하다면 마지막의 가장 큰 자연수가 존재할 것이다. 그 가장 큰 자연수에 1을 더한다. 그러면 1이 더해진 자연수가 가장 큰 자연수가 된다. 그래서 당초의 '가장 큰' 자연수는 가장 크지 않다. 따라서 자연수는 무한하다.

이처럼 귀류법이란 명제를 부정함으로써 생기는 오류를 발견하여 명제의 부정이 거짓임을 밝혀내는 방법이다. 대표적인 귀류법 증명 중 하나는 '소수의 개수는 무한하다'는 유클리드 정리를 증명하는 방법이다. 소수는 1 이외의 자연수로는 나누어지지 않는 자연수다.  '소수의 개수는 무한하다'는 증명은 일단 소수의 개수를 유한하다고 가정한다. 그리고 모든 소수를 모두 곱하고 거기다 1을 더한 값의 큰 수를 수식으로만 우선 구한다. 그러면 그 '큰 수'는 모든 소수로 나누었을 때 반드시 나머지 1이 남을 것이다. 따라서 그 '큰 수'도 소수일 수밖에 없다. 그래서 소수가 유한하다는 가정은 거짓이며, 따라서 소수는 무한하다.

귀류법적 접근 방식은 때론 매우 유용하다. 어떤 선택을 강요당하는 상황의 압박을 받고 있을 때, 선택을 했을 때의 상황을 상상하기보다는  '내가 이 선택을 하지 않으면 어떻게 되는가?'를 스스로 물어본다. 그 선택을 하지 않고 버틸 수 있다면, 그 선택은 불가피한 것이 아니다. 거부하거나 좀더 뻗대볼 수 있다.

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명제가 틀렸음을 주장하고자 할 때에도 마찬가지 방법을 쓴다.
- 명제가 옳다고 가정한다. -> 극단적인 예를 상정한다. -> 그 결과가 성립 불가함을 보인다. -> 명제가 틀렸음이 증명된다.

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비즈니스 상에서도 종종 귀류법이 활용된다. 
리더들이 선택의 압박을 받을 때, 그 선택의 적정 여부를 점검하는 데 유용하다. 예를 들어 이 선택을 하지 않으면, 혹은 이 선택이 옳지 않다면, 어떤 결과가 예상되는지를 검토해보는 것이다. 예를 들어 큰 투자가 불가피한 것으로 여겨지는 상황이라면, 그 투자를 하지 않았을 때를 상정해본다.

 

 

28. 대우를 이용한 증명과 귀류법 [고1 수학, 고등학교 수학]

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도올 김용옥, 영어 수학은 왜 공부해야 하는가?
https://athenae.tistory.com/1917

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세계 1위 부호 LVMH 회장, 한달 한번 다섯자녀 불러 점심 먹는 이유

90분 식사 중에 회사 관련 주제를 아이패드로 읽어주고, 의견 물어
어린 자녀들, 회사로 불러 수학문제 풀게 해…출장 중에도 “기억 새롭게” 수학책 꺼내
공학·과학 전공의 에콜 폴리테크니크 모교 출신 편애… “신속히 상황 판단하는 방식 배워”

https://www.chosun.com/international/europe/2023/04/20/CUFWTM7ID5HGHMSMOSX6RO6CIE

세계 1위 부호 LVMH 회장, 한달 한번 다섯자녀 불러 점심 먹는 이유

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플라톤의 이데아와 수학

https://www.injurytime.kr/news/articleView.html?idxno=2875

"플라톤은 또 수학을 단지 물질과 다른 이상적인 추상 개념이란 이유로 좋아했다고 합니다. 그는 수학을 현실 문제를 해결하는 수단으로써가 아니라 논리적인 사유(철학)의 방법론으로써 꼭 필요하다고 생각했습니다. 아카데미아 정문에 '기하학을 모르는 자는 발을 들여놓지 말라.’는 문구를 적어둔 것도 이런 맥락입니다. 아카데미아에서 자신이 직접 기하학과 수론을 가르치기도 했습니다."

https://www.injurytime.kr/news/articleView.html?idxno=2894

플라톤 이데아와 수학 세계㊦ - 인저리타임

SERICEO '상상의 선을 그어라'

SERICEO '상상의 선을 그어라'

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동굴을 빠져나오기 위해 필요한 학문 수학

동굴의 비유에 이어서..

소크라테스 : 어떻게 하면 그들을 발굴하고 교육해낼 수 있을 지 알아봐야 겠네. 어떻게 하면 어두운 동굴에서 천상의 빛으로 그들을 인도할 수 있는지 말이네. 이는 진정한 의미에서 철학을 습득하는 과정이기도 하네.

글라우콘 : 그렇습니다.

소크라테스 : 과연 어떤 지식이 그 역할을 할 수 있을까 생각해봐야겠네. 그런데 자네 기억하고 있나? 교육에는 두 가지 부문이 있었다는 것을. 체육과 음악말이네.
글라우콘 : 기억합니다.
소크라테스 : 하지만 체육과 음악에는 그러한 지식이 없네.
글라우콘 : 그렇다면 어디에서 그 지식을 찾아야 합니까?
소크라테스 : 특수한 것에서는 찾기 어려우니 보편적인 것에서 가져와야겠네.
글라우콘 : 그게 무엇인가요?

소크라테스 : 이를테면, 하나 둘 셋 하는 것이지. 수학의 세계가 그것이네. 수학은 모든 학문과 기술의 공통된 언어라고 할 수 있지.

글라우콘 : 그렇군요.

소크라테스 : 전쟁의 기술도 이와 관련돼 있지 않았나?

글라우콘 : 물론입니다. 군대의 편제나 조직, 전술을 이해하기 위해서라도 필요합니다. 인간을 위해서도 그렇구요.

소크라테스 : 아무래도 자네와 나는 생각이 같은 것 같네. 수학이란 자연스럽게 인간의 사유를 돕는 학문임에도 그것을 제대로 활용하지 않고 있는 듯 보이네.

글라우콘 : 어떤 점이 그렇다는 것이지요?

소크라테스 : 감각의 대상에는 두 종류가 있네. 어떤 대상은 감각만으로 판별할 수 있어 지성이 필요 없지만, 어떤 대상은 지성이 있어야만 판별할 수 있네.

글라우콘 : 거리 차에 의한 음영이나 그림에 대해 말씀하시는 것 같군요.

소크라테스 : 아니네. 글라우콘. 잘못 짚었네. 예를 들어 설명해 보겠네. 여기에 있는 손가락을 보게. 이것이 손가락이라는 것을 모르는 사람은 없을 걸세. 길건 짧건, 엄지손가락이건 새끼손가락이건 이건 모두 의심할 여지가 없는 손가락이네. 이럴 때 감각은 지성의 도움을 필요로 하지 않지. 손가락이 '손가라기 아닌 것;으로 나타나는 일이 없기 때문일세.

글라우콘 : 틀림없이 그렇습니다.

소크라테스 : 그럼 이제 크기에 관련하여 알아보세. 이 손가락과 저 손가락 중에 어느 것이 긴 것인지를 판별하기란 어렵지 않네. 두 손가락을 대보면 알 테니까 말일세. 하지만 상대적으로 보면 이 손가락은 저 손가락보다 클지언정, 모든 손가락 중에서 제일 크다고 말할 수는 없네. 그것을 우리의 감각만으로 판별할 수는 없다는 말일세. 촉각의 입장에서 봐도 마찬가지네. 이 손가락이 딱딱한지 부드러운지, 딱딱하다면 어느 정도가 딱딱하고, 부드럽다면 어느 정도가 부드러운 것인, 우리의 촉각으로는 답을 내릴 수가 없네. 무겁고 가벼운 것도 같은 이치지. 이럴 때 우리의 마음은 당황하지 않겠나?

글라우콘 : 그렇습니다.

소크라테스 : 이런 경우 어떤 지적 활동의 도움을 받아야 하지 않겠나? 이것과 저것을 계산해 본다든지 하는?

글라우콘 : 그렇습니다.

소크라테스 : 이리하여 감각적인 것과 이성적인 것이 구별되네. 우리는 앞서 감각의 대상 중엔 지성을 필요로 하는 것과 그렇지 않은 것이 있다는 말을 했었네. 그렇다면 '하나와 여럿'은 어느 쪽에 속하는 대상이겠는가?

글라우콘 : 글쎄요. 알쏭달쏭한데요.

소크라테스 : 잘 생각해보게. 어떤 개체가 감각에 의해 확실히 식별되는 것이라면, 손가락의 예에서 보았듯 실제로 인도되는 것은 없네. 그러나 어떤 수에 대립되고 모순되는 것이 있어 경우에 따라 달리 보인다면 우리 안에서 지성의 힘이 움직이기 시작하네. 의혹에 싸인 영혼이 '모순과의 화해'를 촉구하면서 해답을 요구하기 때문이네. 이리하여 지식은 실재를 관조하는 교량이 되지.

글라우콘 : 그렇군요. 그렇다면 '하나와 여럿'은 분명히 지성을 필요로 하겠습니다. 하나는 스스로 하나임과 동시에 무수히 많은 하나이기도 할테니까요.

소크라테스 : 그렇네. 결국 하나가 진실이라면 모든 수 역시 진실일 걸세.

글라우콘 : 그렇습니다.

소크라테스 : 산술적인 모든 것은 수와 관있겠지?

글라우콘 : 물론입니다.

소크라테스 : 이러한 것이 정신을 진리 쪽으로 이끌어가는 것 같네.

글라우콘 : 그렇습니다.

소크라테스 : 이야말로 우리가 찾고 있던 종류의 지식이라고 할 수 있지. 이를 모르는 군사는 군대의 조직이나 전술을 짜지 못할 것이며, 이를 모르는 철학자는 실재를 파악하기 어려울 것이네.

글라우콘 : 옳습니다.

소크라테스 : 우리의 통치자는 군인인 동시에 철학자여야 한다고 했지?

글라우콘 : 그렇습니다.

소크라테스 : 그러므로 이러한 종류의 지식을 습득하도록 우리의 입법자는 신경을 써야 할 것 같네. 무릇 통치자들이라면 수학을 배우도록 해서 이성적 활동을 도모해야지. 수학은 참으로 유용한 학문이네. 장사꾼의 심정으로 익히기보다는 철학자의 정신으로 숭상해야 해. 추상적은 수를 논하게 되면 사물의 변화에 일희일비하지 않네.

글라우콘 : 그렇습니다.

소크라테스 : 계산에 뛰어난 사람들은 다른 종류의 지식을 터득할 때도 이해가 빠르네. 머리가 둔한 사람도 수학으로 단련하면 훨씬 똑똑해지지.

글라우콘 : 그렇습니다.

소크라테스 : 그러나 수학보다 더 어려운 학문도 없을 걸세. 있다 해도 극히 소수겠지.

글라우콘 : 그럴 겁니다.

소크라테스 : 이러한 이유 때문에라도 수학을 가장 우수한 자들이 배우지 않으면 안 될 학문이고, 중도에 그만두어서도 안 되네. 머리가 뛰어난 자일수록 어려서부터 가르쳐야 하네. 수학은 이 정도로 하고, 다음에 어떤 학문이 유용한지 생각해보세.

글라우콘 : 기하학을 염두에 두고 계시는군요. 

소크라테스 : 그렇네.

글라우콘 : 특히 전쟁기술과 관련해서라면 기하학은 쓸모가 많은 학문이겠죠. 진영을 정비한다거나 진지를 구축할 때는 물론, 전투나 행군 시 진형을 결정할 때도 유용하니까요/ 지휘관이라면 당연히 알아야 할 겁니다.

소크라테스 : 일리 있는 말이네. 그러나 내가 말하고자 하는 기하학은 그런 차원이 아니야. 이 분야는 선의 이데를 파악하는 데 유용한 기회를 제공해줄 걸세.
기하학을 상투적으로 이해해서는 곤란하네. 사각형을 만들고 평행선을 긋는 정도의 일상적 지식은 기하학의 필연성에 비하면 대단히 좁은 개념이지. 기하학은 영혼을 진리로 이끌어 철학에 관한 정신을 창조하네. 그리하여 실추된 철학적 기능을 회복하도록 하네.

글라우콘 : 그렇습니다.

소크라테스 : 자네가 건설하고 있는 아름다운 국가에서라면 주민들 모두에게 이 기하학을 배우도록 엄격히 관리해야 할 걸세. 이 학문의 파급효과는 결코 적지 않을 테니까.

글라우콘 : 어떤 효과가 있습니까?

소크라테스 : 그대가 말한 군사적 이점도 있네. 그걸나 그것은 작은 거라네. 기하학을 배운 사람은 그렇지 못한 사람보다 사물을 이해하는 데 훨씬 빠르고 예민하지. 그러므로 기하학을 젊은이의 교육과정에 필요한 두번째 과목으로 정해야겠네.

글라우콘 : 찬성입니다.

소크라테스 : 세번째 과목으로는 천문을 선정하는 게 어떻겠나?

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정철승

아들 : 아빠.. 학교에서 배우는 지식들 대부분은 쓸모 없는 것 같아요. 이런 걸 왜 공부해야 하죠?

나 : 세가지 이유가 있단다.

첫째, 너희는 지금 지식이 아니라 공부하는 법을 익히고 있는 중이다. 쓸모 없는 지식도 잘 배우고 익힐 수 있는 능력을 키워놓으면 나중에 유용한 지식은 더욱 잘 습득할 수 있겠지.

둘째, 지혜로와지기 위해서다. 지혜란 서로 다른 사물이나 사건들 사이의 본질적 유사성을 간파해내는 능력이란다. 그러면 내가 처음 경험하는 사물이나 사건에 대해서도 많은 것을 미리 알 수 있게 되지. 이런 지혜를 얻으려면 기본적으로 많은 지식들이 축적되어 있어야 한단다.

셋째, 지금 너희들이 배우고 있는 지식들은 쓸모 없는 것들이 아니다. 쓸모를 모를 뿐이지, 세상에 쓸모 없는 지식이란 없단다.

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“문과는 없어져야 합니다. 문이과를 구분하는 곳은 일본과 한국 뿐이예요. 이과의 핵심은 수학입니다. 수학은 현대사회의 기본 언어입니다. 수학을 모르면 말 못하는 사람과 같은 거예요. 문맹이 되는 거죠. 누구한테는 수학을 빼고 가르친다? 이건 무책임한 것이고 청년들의 기회를 박탈하는 겁니다.”

“AI시대이기 때문에 암기 교육이 중요합니다. 모르는 게 있으면 검색하면 되지? 굉장히 나태한 것이죠. AI로 창조적인 일을 하기 위해서도, 생성AI가 만든 결과를 판단하기 위해서도 내 머리 안에 뭔가 있어야 해요. 가진 게 없으면 배울 게 없습니다.”

철학자 김재인 경희대 교수가 작심하고 쏟아내는 AI시대 교육에 대한 이야기를 들어보시죠. “미래세대에게 수학을 빼고 가르친다? 문과 학생들을 바보로 만드는 거예요. 굉장히 위험한 발언이지만 할 얘기는 해야 할 것 같아요.”

 

 

 

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영어 수학은 왜 공부해야 하는가?

 

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“Mathematics is the only true universal language.” _ 영화 컨택트 중 엘리 애로위의 말

WHY MATHEMATICS IS A LANGUAGE